Аннотації

Просторово-часова еволюція одновимірних нелінійних хвиль деформацій у циліндричних оболонках

Автор(и):
Човнюк Ю.В., Приймаченко О.В., Чередніченко П.П., Топал С.С.
Автор(и) (англ)
Chovniuk Iu.V., Priymachenko O.V., Cherednichenko P.P., Topal C.C.
Дата публікації:

26.12.2025

Анотація (укр):

У роботі обґрунтовані фізико-механічна та математична моделі, які призначені для аналізу нелінійних хвилеутворень у циліндричних пружних оболонках. Використовуючи редукційний метод збурень, досліджена просторово-часова еволюція нелінійних поздовжніх та поздовжньо-зсувних хвиль у пружних циліндричних оболонках в межах теорії Кірхгофа-Лява. Встановлено, що у пружних циліндричних оболонках (у одновимірній постановці задачі) існують одновимірні солітони та нелінійні періодичні хвилі (типу кноїдальних), які є частинними розв’язками рівняння Кортевега - де Вріза (КдВ). Знайдені аналітичним шляхом всі основні параметри зазначених типів хвилеутворень. Врахування дисипативних ефектів дозволило отримати для компоненти поздовжньої деформації еволюційне рівняння Кортевега – де Вріза - Бюргерса (КДБ), яке близьке до інтегрованих. Знайдені аналітичним шляхом (із використанням методу скороченого розкладу) частинні розв’язки цього рівняння у формі кінків та хвилеутворень, котрі описуються еліптичною функцією Вейєрштрасса. Проведений аналіз дозволяє наступним чином описати просторово-часову еволюцію слабко двовимірного пучка нелінійних поздовжніх та поздовжньо-зсувних хвиль у пружній циліндричній оболонці. Існує швидкий (лінійний) масштаб часу, протягом якого існує хвиля, що біжить без зміни профілю з постійною швидкістю.Далі, існує більш повільний масштаб часу, протягом якого зміна параметрів хвилі за рахунок нелінійності, дисперсії та дифракційної розбіжності призводить до розбиття вихідного імпульсу на одновимірні (або слабко двовимірні) солітони чи утворюються кноїдальні (періодичні) хвилі. Взаємодія нестійких до поперечних збурень солітонів поздовжніх хвиль деформацій з хвилями поздовжньо-зсувного типу (солітонами/кноїдальними хвилями) призводить до їх перекидання та, можливо, й до руйнування. Ця обставина відрізняє суттєво просторово-часову еволюцію солітонів у деформованих твердих тілах від гідродинамічних солітонів, котрі руйнуються поступово, внаслідок природної дисипації.

Анотація (рус):

Анотація (англ):

In this paper, the physical-mechanical and mathematical models designed to analyze nonlinear wave formations in cylindrical elastic shells are substantiated. Using the perturbation reduction method, the spatial and temporal evolution of nonlinear longitudinal and longitudinal-shift waves in elastic cylindrical shells in the framework of Kirchhoff-Liave theory is investigated. It is established that in elastic cylindrical shells (in one-dimensional formulation of the problem) there exist one-dimensional solitons and nonlinear periodic waves (of the cnoidal type), which are partial solutions of the Korteweg-de Vries equation (KdV). All the main parameters of these types of waveforms are analytically found. Taking into account dissipative effects, the evolutionary Korteweg-de Vries-Bürgers equation (KDB), which is close to the integrated ones, was obtained for the longitudinal deformation component. Partial solutions of this equation in the form of kinks and waveforms, which are described by the elliptic Weierstrass function, have been found analytically (using the reduced expansion method). The analysis performed allows us to describe the spatial and temporal evolution of a weakly two-dimensional beam of nonlinear longitudinal and longitudinal-shift waves in an elastic cylindrical shell as follows. There is a fast (linear) time scale during which there exists a wave running without profile change with constant velocity. Further, there is a slower time scale, during which the change of wave parameters due to nonlinearity, dispersion, and diffraction divergence leads to the splitting of the initial pulse into one-dimensional (or weakly two-dimensional) solitons or the formation of cnoidal (periodic) waves. The interaction of longitudinal deformation waves unstable to transverse perturbations with longitudinal-shift waves (solitons/cnoidal waves) leads to their overturning and, possibly, to their destruction. This circumstance essentially distinguishes the spatial and temporal evolution of solitons in deformed solids from hydrodynamic solitons, which collapse gradually due to natural dissipation.

Література:

 

  1. Потапов А.И. Нелинейные волны деформаций в стержнях и пластинах. - Горький: Изд-во Горьк. ун-та, 1985. 68с.
  2. Кившарь Ю.С., Сыркин Е.С. Сдвиговые солитоны в упругой пластине. ‑ Акустический журнал. 1991. Т. 37. Вып.1.
  3. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. – М.: Наука, 1972. 320с.
  4. Землянухин А.И., Могилевич Л.И. Эволюция нелинейных продольных волн в цилиндрических оболочках. – Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 1993. 45с. Деп. в ВИНИТИ № 1737-В93.
  5. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. – М.: Мир, 1977. 450с.
  6. Землянухин А.И., Могилевич Л.И. Нелинейные волны деформаций в цилиндрических оболочках. Известия вузов «ПНД». 1995. Т. 3. №1. С. 52-57.
  7. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах. - М.: Мир, 1983. 136с.
  8. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. – М.: Мир, 1972. 560с.
  9. Taniuti T., Wei C.C. Reductive perturbation method in nonlinear wave propagation. I. Journal of the Physical Society of Japan. 1968. Vol. 24. P. 941-966.
  10. Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны. – М.: Наука, 1991. 260с.
  11. Кудряшов Н.А. Методы нелинейной математической физики. – М.: МИФИ, 2008. 352с.
  12. Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений, Институт компьютерных исследований. М.–Ижевск: РХД, 2004. — 360 с.
  13. Кудряшов Н.А. // Прикладная математика и механика, 1988. Т.52. С. 361–365.
  14. Kudryashov N.A. // Physics Letters A., 2005. V.342. P. 99–106.
  

References:

 1.      Potapov A.Y. Nelineinie volni deformatsii v sterzhnyakh i plastinakh (Nonlinear deformation waves in rods and plates). - Horkyi: Yzd-vo Hork. un-ta, 1985. 68s.2.      Kyvshar Yu.S., Syrkyn E.S. Sdvigovie solitoni v uprugoi plastine (Shear solitons in an elastic plate). ‑ Akusticheskii zhurnal. 1991. T. 37. Vыp.1.3.      Volmyr A.S. Nelyneinaia dynamyka plastynok iobolochek (Nonlinear dynamics of plates and shells). – M.: Nauka, 1972. 320s.4.      Zemlianukhyn A.Y., Mohylevych L.Y. Evolyutsiya nelineinikh prodolnikh voln v tsilindricheskikh obolochkakh (Evolution of nonlinear longitudinal waves in cylindrical shells). – Saratov: Sarat. hos. tekhn. un-t, 1993. 45s. Dep. v VYNYTY № 1737-V93.5.      Uyzem Dzh. Lineinie i nelineinie volni (Linear and nonlinear waves). – M.: Myr, 1977. 450s.6.      Zemlianukhyn A.Y., Mohylevych L.Y. Nelineinie volni deformatsii v tsilindricheskikh obolochkakh (Nonlinear deformation waves in cylindrical shells). ‑ Yzvestyia vuzov «PND». 1995. T. 3. №1. S. 52-57.7.      Bkhatnahar P. Nelineinie volni v odnomernikh dispersnikh sistemakh (Nonlinear waves in one-dimensional disperse systems). - M.: Myr, 1983. 136s.8.      Koul Dzh. Metodi vozmushchenii v prikladnoi matematike (Perturbation methods in applied mathematics). – M.: Myr, 1972. 560s.9.      Taniuti T., Wei C.C. Reductive perturbation method in nonlinear wave propagation. I. Journal of the Physical Society of Japan. 1968. Vol. 24. P. 941-966.10.    Bohoiavlenskyi O.Y. Oprokidivayushchiesya solitoni (Overturning solitons). – M.: Nauka, 1991. 260s.11.    Kudriashov N.A. Metodi nelineinoi matematicheskoi fiziki (Methods of nonlinear mathematical physics). – M.: MYFY, 2008. 352s.12.    Kudriashov N.A. Analiticheskaya teoriya nelineinikh differentsialnikh uravnenii (Analytical theory of nonlinear differential equations) ‑ Institut kompyuternikh issledovanii. M.–Izhevsk: RKhD, 2004. — 360 s.13.    Kudriashov N.A. // Prikladnaya matematika i mekhanika (Applied Mathematics and Mechanics) ‑ 1988. T.52. S. 361–365.Kudryashov N.A. // Physics Letters A., 2005. V.342. P. 99–106.