Аннотації
05.06.2025
Запропоновано аналітичний метод визначення напружень згину балки шаруватої структури з довільною кількістю шарів, включно з останнім шаром напівбезмежної товщини. Метод полягає в прийнятті показників напружено-деформованого стану шарів з використанням функцій напружень Ері лінійної теорії пружності. Вони прийняті у формі сум добутків експоненційних та тригонометричних функцій та таких добутків помножених на координату осі нормальної до балки. На підставі граничних умов, умов сумісності та нерозривності деформування з’єднаних шарів сформульовані система лінійних алгебраїчних рівнянь. Розв’язок систем, знайдені значення коефіцієнтів функцій напружень. Відомі коефіцієнти функцій Ері дозволяють визначити напружено-деформований стан шарів балки. Розглянуто випадки спирання балки частинами її поверхні та її утриманням торцями. Встановлено наступне. Деформації стиску малі відносно деформацій прогину за умови значного перевищення довжини балки над її товщиною. Розрахований прогин нижньої поверхні балки близький до параболічного характеру. Розміри опорних поверхонь що перевищують 1% її довжини суттєво впливають на її прогин – зменшують його. Аналітично визначений середній прогин балки на 0,7% менший за вигин розрахований методами опору матеріалів. Прогини балки залежать і від властивостей матеріалу шарів балки, так зростання коефіцієнта Пуассона від мінімально, рівного нулю до практично максимально, прийнятого рівним 0,45, призводить до зменшення прогинів поверхонь шарів. Зменшення не перевищує 10%. Запропонований метод базується на положеннях лінійної теорії пружності. Перетворення здійснені без спрощень. Отримані результати не суперечать результатам отриманим методами опору матеріалів, в межах лінійної постановки мають достатньо високий рівень достовірності. Вони можуть бути використані для розрахунку напружено-деформованого стану балок шаруватої структури прямокутного перетину, включно балок на пружній основі.
An analytical method for determining the bending stresses of a beam of a layered structure with an arbitrary number of layers, including the last layer of semi-infinite thickness, is proposed. The method consists in taking the indicators of the stress-strain state of the layers using the Eri stress functions of the linear theory of elasticity. They are taken in the form of sums of products of exponential and trigonometric functions and such products multiplied by the coordinate of the axis normal to the beam. Based on the boundary conditions, conditions of compatibility and continuity of deformation of the connected layers, a system of linear algebraic equations is formulated. The solutions of the systems are found to the values of the coefficients of the stress functions. The known coefficients of the Eri functions allow determining the stress-strain state of the layers of the beam. The cases of supporting the beam by parts of its surface and its holding by the ends are considered. The following is established. Compressive deformations are small relative to deflection deformations provided that the length of the beam significantly exceeds its thickness. The calculated deflection of the lower surface of the beam is close to parabolic in nature. The dimensions of the supporting surfaces exceeding 1% of its length significantly affect its deflection - they reduce it. The analytically determined average deflection of the beam is 0.7% less than the deflection calculated by the methods of material resistance. Beam deflections also depend on the properties of the material of the beam layers, so the increase in Poisson's ratio from a minimum, equal to zero, to a practically maximum, taken equal to 0,45, leads to a decrease in the deflections of the surfaces of the layers. The decrease does not exceed 10%. The proposed method is based on the provisions of the linear theory of elasticity. The transformations are carried out without simplifications. The results obtained do not contradict the results obtained by the methods of material resistance, within the limits of the linear formulation have a sufficiently high level of reliability. They can be used to calculate the stress-strain state of beams of a layered structure of rectangular cross-section, including beams on an elastic base.
- Байда Д.М., Войцехівський О.В., Попов В.О., Котенко В.В. Несуча здатність залізобетонних мостових балок за похилими перерізами. // Науково-технічний збірник Сучасні технології, матеріали і конструкції в будівництві. – 2024. – Том 21. – № 1. – С. 6–13. DOI 10.31649/2311-1429-2024-1-6-13.
- Шваб’юк В.І., Ротко В.О., Ротко С.В. Уточнений розрахунок підсилених балок методом приведених перерізів. // Сучасні технології та методи розрахунків у будівництві. – 2017. –№7. – С. 273–278.
- Шваб’юк В.І., Ротко С.В., Шваб’юк В.В., Ужегова О.А., Кислюк Д.Я. До проблеми визначення залишкової міцності балок, пошкоджених тріщинами. // Сучасні технології та методи розрахунків у будівництві. – 2019. – № 12. – С. 229–236.Doi : 10.36910/6775-2410-6208-2019-2(12)-28.
- Гомон С. С., Гомон П. С., Павлюк А. П. Розрахунок косозігнутих дерев’яних балок з використанням деформаційної моделі. // Ресурсоекономні матеріали, конструкції, будівлі та споруди. – 2018. – Вип. 36. – С. 87–95. http://nbuv.gov.ua/UJRN/rmkbs_2018_36_13.
- Угрімов С.В. Моделювання напружено-деформованого стану шаруватих ортотропних пластин на пружній основі /С. В. Угрімов, Ю. М. Тормосов, В. А. Куценко, І. В. Лебединець // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. – 2014. – № 5(7). – С. 4–9. http://nbuv.gov.ua/UJRN/Vejpte_2014_5%287%29__2.
- Опанасович В. К., Слободян М. С. Білаш О. В. Чистий згин полоси (балки) з довільно орієнтованою наскрізною тріщиною. // Вісник Київського національного університету. Серія фізико-математичні науки. – 2019. – №1. – С.142–145.
- Козак Р. П. Несуча здатність тонких багатошарових скляних балок: дис. доктора філософії: 192 – Будівництво та цивільна інженерія. // Національний університет «Львівська політехніка». – Львів. – 2023. – 189 с.
- Поліщук М. В. Напружено-деформований стан згинальних елементів з клеєної деревини з комбінованим армуванням: дис… доктора філософії: 192 – Будівництво та цивільна інженерія. // Національний університет водного господарства та природокористування. – Рівне. – 2023. – 168 с.
- Гезенцвей Ю.І., Олевський В.І., Волчок Д.Л., Олевський О.В. Розрахунок вдосконалених сталевих балок будівель і споруд гірничо-металургійного комплексу // Опір матеріалів і теорія споруд: наук.-тех. збірн. – К.: КНУБА. – 2021. – Вип. 106. – С. 54-67.DOI: 10.32347/2410-2547.2021.106 54-67
- Бікс Ю. С. Порівняльний аналіз методик визначення несучої здатності залізобетонних балок за різними залежностями «напруження - деформації» згідно ДБН В.2.6U98:2009. // Сучасні технології, матеріали і конструкції в будівництві. – 2022. – Том 19. – № 1. С. 21-31.DOI 10.31649/2311-1429-2022-1-21-31.
- Гоменюк С.І., Спиця О.Г. Аналітичний та чисельний підходи до розв’язання задач теорії пружності для багатошарових середовищ: монографія. Видавничий дім «Гельветика». – Херсон. – 2018. – 128с.
- Й. Й. Лучко, І. М. Добрянський. Уточнений розрахунок і дослідження напружено-деформованого стану балки при згині. // Вісник Дніпропетровського національного університету залізничного транспорту. – 2010. – Вип. 33. – С. 155–160.
- Лучко Й. Й., Добрянський І. М., Іваник Є. Г. Визначення напруженого стану балки методами теорії пружності // Науково-технічний збірник «Сучасні технології, матеріали і конструкції в будівництві». – 2010. – Том 9. – Вип. № 2. – С. 23–36.
- Бельмас І.В., Білоус О.І.¸ Танцура Г.І. Визначення напружено-деформованого стану багатошарового композиту. // Опір матеріалів і теорія споруд: наук.-тех. збірн. – К.: КНУБА. – 2022. – Вип. 109. – С. 426 – 440. DOI : 10.32347/2410-2547.2022.109.426-440.
1. Baida D. M., Voitsekhivskyi O. V., Popov V. O., Kotenko V. V. Nesucha zdatnist zalizobetonnykh mostovykh balok za pokhylymy pererizamy (Bearing capacity of reinforced concrete bridge beams by inclined sections.) // Nauk.-tekh. zbirnyk. Suchasni technologii, materialy i constructii v budivnyztvi. – 2024. – Tom. 21. – No. 1. – P. 6–13. DOI 10.31649/2311-1429-2024-1-6-132. Shvabyuk V. I., Rotko V. O., Rotko S. V. Utochnenny rozrakhunok pidsylenykh balok metodom pryvedenykh pereriziv (Refined calculation of reinforced beams by the method of reduced sections.) // Nauk.-tekh. zbirnyk. Suchasni technologii ta matody rozrakhunkiv u budivnyztvi. – 2017. – No. 7. – P. 273–278.3. Shvabyuk V.I., Rotko S.V., Shvabyuk V.V., Uzhegova O.A., Kyslyuk D.Ya. Do problem vyznachennia zalychkovoi miznosti balok, pockodgenykh trichynamy (On the problem of determining the residual strength of beams damaged by cracks.) // Nauk.-tekh. Zbirnyk. Suchasni technologii ta matody rozrakhunkiv u budivnyztvi. – 2019. – No. 12. – P. 229–236. Doi : 10.36910/6775-2410-6208-2019-2(12)-284. Gomon S. S., Gomon P. S., Pavlyuk A. P. Rozrakhunok kosozignutykh derevianykh balok z vykoryctanniam deformaziinnoi modeli (Calculation of obliquely bent wooden beams using a deformation model). // Resursoekonomni materialy, konstrukzii budivli, ta sporudu. – 2018. – Vyp. 36. – P. 87–95. http://nbuv.gov.ua/UJRN/rmkbs_2018_36_135. Ugrimov S.V. Modeluvania naprugenno-deformovannogo ctanu sharuvatykh sharuvatykh ortotropnykh plastin na prugnii osnovi (Modeling of the stress-strain state of layered orthotropic plates on an elastic base) /S. V. Ugrimov, Yu. M. Tormosov, V. A. Kutsenko, I. V. Lebedinets // Wostokhno-Evropeyski gurnal peredovykh technologii. – 2014. – No. 5(7). – P. 4–9. http://nbuv.gov.ua/UJRN/Vejpte_2014_5%287%29__26. Opanasovych V. K., Slobodyan M. S. Bilash O. V. Chystyi zgyn polosy (balky) z dovilno orientovannoiy naskriznoiy trichynoiy. (Pure bending of a strip (beam) with an arbitrarily oriented through crack.) // Visnyk Kyivskogo Nationalnogo University. Sekzia fysico-mathematyhni nauky. – 2019. – No. 1. – P.142–1457. Kozak R. P. Nesucha zdatnist tonkykh bagatocharovykh sklianovykh balok: dis…doktora filosofii: 192 – Budivnyztvo ta zyvilna ingeneria (Bearing capacity of thin multilayer glass beams: Diss… Ph.D.: 192 – Construction and civil engineering.) // Nationalnyi Universytet “Lvivska polytechnica”. – Lviv. – 2023. – 189 p.8. Polishchuk M. V. Naprugenno-deformovannyi ctanzgynalnykh elementiv z kleenoi derevyvy: dis. doktora filosofii: 192 – Budivnyztvo ta zyvilna ingeneria (Stress-strain state of bending elements made of glued wood with combined reinforcement: Diss… Ph.D.: 192 – Construction and civil engineering.) // Nationalnyi Universytet wodnogo gospodarstva ta pryrodokorystuvannia. – Rivne. – 2023. – 168 p.9. Gezentsvei Yu. I., Olevsky V. I., Volchok D. L., Olevsky O. V. Rozrakhunok vdoskonalenykh stalevykh balok budivel i sporud hirnycho-metalurhiinoho kompleksu (Calculation of improved steel beams of buildings and structures of the mining and metallurgical complex) // Opir materialiv i teoriia sporud: nauk.-tekh. zbirnyk – K.: KNUBA – 2021. – Vyp. 106. – P. 54-67.DOI: 10.32347/2410-2547.2021.106 54-67.10. Biks Yu. S. Porivnialnyi analiz metodyk vyznachennya nesuchoi zdatnosti zalizobetonnykh balok za riznymy zalegnostyamy «naprugennya-deformazii» zgidno DBN B.2.6U98:2009.) (Comparative analysis of methods for determining the bearing capacity of reinforced concrete beams according to different dependencies of “stress - deformation” according to DBN V.2.6U98:2009.) // Nauk.-tekh. zbirnyk. Suchasni technologii, materialy i constructii v budivnyztvi. – 2022. – Vyp. 19. – No. 1. P. 21-31.DOI 10.31649/2311-1429-2022-1-21-3111. Homeniuk S.I., Spitsya O.G. Analitykhny ta khyselnyi pidhody do rozvyannya zadakh teorii prugnosti dlya bagatocharobykh seredovych: monografya. Wydavnykhyi dim "Helvetica" (Analytical and numerical approaches to solving problems of the theory of elasticity for multilayer media: monograph. Publishing house "Helvetica".) – Kherson. –– 2018. – 128p.12. Y. Luchko, I. M. Dobryansky. Utochnennyi rozrakhunok i doslidgennya naprugenno-deformovannogo ctanu balky pry zgyni (Refined calculation and study of the stress-strain state of a beam during bending.) // Visnyk Dnipropetrovskogo nationalnogo university zaliznykhnogo transportu. – 2010. – Vyp. 33. – P.155–160.13. Luchko Y. Y., Dobryansky I. M., Ivanyk E. G. Vyznachennya naprugennogo ctanu balky metodamy teorii prugnosti (Determination of the stress state of a beam by methods of the theory of elasticity.) // Nauk.-tekh. zbirnyk. Suchasni technologii, materialy i constructii v budivnyztvi. – 2010. – Tom. 9. – Vyp. № 2. – P. 23-36.14. Belmas I.V., Bilous O.I.¸ Tantsura G.I. Vyznachennia naprugenno-deformovannogo ctanu bagatocharovogo kompozytu (Determination of the stress-strain state of a multilayer composite.) // Opir materialiv i teoriia sporud: nauk.-tekh. zbirnyk – K.: KNUBA 2022. – Vyp. 109. – P. 426 – 440.DOI : 10.32347/2410-2547.2022.109.426-440.