Аналіз алгоритмів розв’язання геометрично нелінійних задач механіки в схемі напіваналітичного методу скінченних елементів

Заголовок (англійською): 
. Algorithms analysis for solving geometrically nonlinear mechanics problems in the scheme of the semi-analytical finite element method
Автор(и): 
Солодей І.І.
Козуб Ю.Г.
Стригун Р.Л.
Шовківська В.В.
Автор(и) (англ): 
Solodei I.I.
Kozub Yu.G.
Stryhun R.L.
Shovkivska V.V.
Ключові слова (укр): 
тіла обертання, статичне навантаження, геометрична нелінійність, напіваналітичний метод скінченних елементів, кільцевий скінченний елемент
Ключові слова (англ): 
bodies of revolution, static load, geometric nonlinearity, semi-analytical finite elements method, ring finite element
Анотація (укр): 
Розглянуто ефективність використання напіваналітичного методу скінченних елементів (НМСЕ) для розв’язання геометрично нелінійних задач будівельної механіки для вісе– та циклічно симетричних просторових тіл під дією довільних навантажень на основі базового кільцевого скінченного елемента. Отримано оцінку параметрів раціонального застосування алгоритмів урахування геометричної нелінійності визначеного класу конструкцій. У процесі чисельного вирішення просторових задач теорії пружності та пластичності при скінченних переміщеннях вибір раціональних алгоритмів розв’язання систем нелінійних рівнянь має принципове значення. Це зумовлено необхідністю визначення координат дискретної моделі в актуальній конфігурації та зміни метричних характеристик скінченних елементів, що, в свою чергу, веде до необхідності багатократного розв’язання систем нелінійних рівнянь високого порядку. Завдяки введенню додаткових гіпотез, що не зменшують точність апроксимації: представленню деформацій і напружень в фізичних термінах і у відповідності до моментної схеми скінченного елемента (МССЕ) вдається, з однієї сторони, уникнути трудомісткої процедури чисельного інтегрування по площі поперечного перерізу скінченного елемента, з іншої – зберегти високу ефективність просторової дискретизації. Важливим етапом в реалізації обчислювальних систем для розв’язання просторових задач є вибір оптимальних, з точки зору швидкості збіжності рішень, алгоритмів розв’язання рівнянь рівноваги. Специфіка алгебраїчних рівнянь НМСЕ зумовлена порушенням ортогональності тригонометричних функцій у просторі оператора пружності для тіл зі змінними вздовж направляючої параметрами жорсткості та мас. Явно виділена блокова структура матриці жорсткості стала підставою для використання алгоритмів, що комбінують прямі та ітераційні методи розв’язання. Достовірність отриманих результатів і ефективність підходу підтверджені розв’язанням широкого кола контрольних прикладів при різноманітних граничних умовах та зовнішніх навантаженнях.
Анотація (англ): 
The effectiveness of using the semi-analytical finite element method (SAFEM) to research geometrically nonlinear construction mechanics problems for 3D bodies of revolution under the arbitrary loads based on a basic ring finite element is considered. An estimate of the rational application parameters of algorithms for taking into account the geometric nonlinearity of a defined above structures class, which has been obtained. In the process of numerically solving spatial problems of the theory of elasticity and plasticity with finite displacements, the choice of rational algorithms for solving systems of nonlinear equations is of fundamental importance. It is conditioned by the need of determining the coordinates of the discrete model in the actual configuration and changing the metric characteristics of the finite elements, which, in its turn, leads to the necessity for multiple solutions of systems of nonlinear equations of high order. Due to the introduction of additional hypotheses that do not reduce the accuracy of the approximation: the representation of deformations and stresses in physical terms and in accordance with the moment scheme of the finite element (MSFEM), it is possible, on the one hand, to avoid the time-consuming procedure of numerical integration over the cross-sectional area of the finite element, on the other hand- to maintain a high efficiency of spatial discretization. An important stage in the implementation of computer systems for solving spatial problems is the selection of optimal, from the point of the solution convergence speed and algorithms for solving equilibrium equations. The specificity of the algebraic equations of the SAFEM is conditioned by violation of the trigonometric function orthogonality in the space of the elasticity operator for bodies with variable stiffness and mass parameters along the guide. The clearly defined block structure of the stiffness matrix became the basis for using algorithms combining direct and iterative methods of solving. The reliability of the obtained results and the effectiveness of the approach are confirmed by the solution of a wide range of control examples under various boundary conditions and external loads.
Публікатор: 
Київський національний університет будівництва і архітектури
Назва журналу, номер, рік випуску (укр): 
Опір матеріалів і теорія споруд, 2022, номер 109
Назва журналу, номер, рік випуску (англ): 
Strength of Materials and Theory of Structures, 2022, number 109
Мова статті: 
Українська
Формат документа: 
application/pdf
Документ: 
09-109_solodey_i.i._kozub_yu.g._strigun_r.l._shovkivska_v.v.pdf
Дата публікації: 
25 December 2022
Номер збірника: 
109
Університет автора: 
Київський національний університет будівництва і архітектури, Київ Повітрофлотський просп., 31, м. Київ. 03680 Державний заклад "Луганський національний університет імені Тараса Шевченка"
Литература: 
1.   Баженов В.А., Солодей І.І., Вабіщевич М.О., Стригун Р.Л. Постановка еволюційної геометрично нелінійної задачі механіки руйнування для просторових тіл обертання та призматичних тіл // Опір матеріалів і теорія споруд. – 2018. – Вип. 101. – С. 3–13.2.   Кислоокий В.Н., Сахаров А.С., Соловей Н.А. Моментна схема методу скінченних елементів у геометрично нелінійних задачах міцності та стійкості оболонок // Проблеми міцності. – 1977. - N 7. – С. 25-33.3.   Кентін Г., Клауф Р.В. Скривлений дискретний елемент циліндричної оболонки // Ракетна техніка і космонавтика. – 1968. – N 6. – С. 82-87.4.   Максим’юк Ю.В., Солодей І.І., Стригун Р.Л. Вихідні співвідношення нелінійного динамічного формозміненнявісесиметричних та плосодеформівних тіл // Опір матеріалів і теорія споруд. – 2019. – Вип. 102. – С. 252-262.5.   Солодей І.І., Вабіщевич М.О., Стригун Р.Л. Скінченноелементні моделі просторових тіл в задачах динаміки з урахуванням великих пластичних деформацій // Управління розвитком складних систем. – 2019. – №39. – С. 87-94.6.   Стренг Г., Фікс Дж. Теорія методу скінченних елементів. – М.: Мир, 1977. – 341 с.7.   Тимошенко С.П. Пластини та оболонки. – М.-Л.: ОГІЗ. Гостехіздат, 1948. – 460 с.8.   Тимошенко С.П. Статичні та динамічні проблеми теорії пружності. - Київ: Наук. думка, 1975. – 563 с.9.   Тимошенко С.П., Войновский-Крігер С. Пластини та оболонки. -М.: Наука, 1966. –456 с.10. Фондер Г.А., Клауф Р.В. Явне додавання зміщення тіла як жорсткого цілого в криволінійних скінченних елементах //Ракетна техніка та космонавтика.–1973.– N3.– С. 62-72.Богнер Ф.К., Фокс Р.Л., Шміт Л.А. Дискретний елемент циліндричної оболонки // AIAA J. -1967. – 5, N 4. – С. 745-750.
References: 
  1. Bazhenov V.A., Solodei I.I., Vabishchevych M.O., Stryhun R.L. Postanovka evolyucijnoyi geometrychno nelinijnoyi zadachi mekhaniky rujnuvannya dlya prostorovykh til obertannya ta pryzmatychnyh til (Formulation of the evolutionary geometrically nonlinear problem of fracture mechanics for spatial bodies of rotation and prismatic bodies) // Strenghtofmaterialsandtheoryofstructures. – 2018. – Issue 101. – P. 3–13.
  2. Kyslookyj V.N., Saxarov A.S., Solovej N.A. Momentna shema metodu skinchennyh elementiv u geometrychno nelinijnyh zadachah micnosti ta stijkosti obolonok (Moment scheme of the finite element method in geometrically nonlinear problems of strength and stability of shells) // Strength of materials. – 1977. - N 7. – S. 25-33.
  3. Kentin G., Klauf R.V. Skryvlenyj dyskretnyj element cylindrychnoyi obolonky (Curved discrete element of a cylindrical shell) // Rocket technology and cosmonautics. - 1968. - N 6. - P. 82-87.
  4. Maksym'yuk Yu.V., Solodei I.I., Stryhun R.L. Vyhidni spivvidnoshennya nelinijnogo dynamichnogo formozminennya visesymetrychnyh ta ploscodeformivnyh til (Initial relations of nonlinear dynamic deformation of axisymmetric and plane deformation bodies) // Strenght of materials and theory of structures. – 2019. – Issue 102. - pp. 252-262.
  5. Solodei I.I., Vabishchevych M.O., Stryhun R.L. Skinchenno elementni modeli prostorovyh til v zadachah dynamiky z uraxuvannyam velykyh plastychnyh deformacij (Finite element models of spatial bodies in dynamics problems taking into account large plastic deformations) // Management of the development of complex systems. – 2019. – No. 39. - P. 87-94.
  6. Strang, G., Fix, J. Teoriya metodu skinchennyh elementiv (Theory of the Finite Element Method). - M.: Mir, 1977. - 341 p.
  7. Tymoshenko S.P. Plastyny ta obolonky (Plates and shells). - M.-L.: OGIZ. Gostekhizdat, 1948. - 460 p.
  8. Tymoshenko S.P. Statychni ta dynamichni problemy teoriyi pruzhnosti (Static and dynamic problems of the theory of elasticity). - Kyiv: Nauk. dumka, 1975. - 563 p.
  9. Tymoshenko S.P., Voynovsky-Kriger S. Plastyny ta obolonky (Plates and shells). - M.: Nauka, 1966. –456 p.
  10. Funder G.A., Klauf R.V. Yavne dodavannya zmishhennya tila yak zhorstkogo cilogo v kryvolinijnyh skinchennyh elementah (Explicit addition of displacement of the body as a rigid whole in curvilinear finite elements) // Rocket technology and cosmonautics.–1973.– N3.– P.62-72.
  11. Bogner F.K., Fox R.L., Schmit L.A. Dyskretnyy element tsylindrychnoyi obolonky (A Cylindrical Shell Discrete Element) // AIAA J. -1967. – 5, N 4. – P. 745-750.