РОЗВИТОК ЗМІШАНОГО МЕТОДУ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ ДО РОЗВЯЗАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ТЕРМОМЕХАНІКИ

Заголовок (російською): 
Развитие смешанного метода конечных элементов к решению краевых за- дач термомеханики
Заголовок (англійською): 
Development of mixed finite element method for the solution of thermomechanical boundary problems
Автор(и): 
О.Ю. Чирков
Автор(и) (англ): 
Chirkov A.Y.
Ключові слова (укр): 
метод скінченних елементів, неізотермічні процеси пружно-пластичного деформування, змішана схема метода скінченних елементів
Ключові слова (рус): 
метод конечных элементов,неизотермические процессы упруго-пластического деформирования, смешанная схема метода конечных элементов
Ключові слова (англ): 
finite element method, non-isothermal processes of elasto-plastic deformation , mixed finite element method
Анотація (укр): 
Розвинуто загальну теорію змішаних схем метода скінченних елементів для розв’язання крайових задач термомеханіки неоднорідних середовищ, зокрема, нелінійних задач, що описують неізотермічні процеси пружно-пластичного деформування за криволінійними траєкторіями малої кривизни. Із застосуванням апарату функціонального аналізу досліджено коректність змішаних проекційно-сіткових алгоритмів і на цій основі сформульовано умови, що забезпечують стійкість та збіжність змішаної апроксимації для напружень, деформацій і переміщень. Встановлено, що змішаний метод призводить до більш точних розрахункових розподілів напружень і деформацій порівняно із класичним методом переміщень. Побудовано спеціальні скінченні елементи, що забезпечують стійкість та збіжність пропонованих змішаних апроксимацій. Отримано систему розв’язувальних рівнянь змішаного методу з урахуванням точного задоволення статичним межовим умовам на поверхні тіла, для розв’язання яких запропоновано економічні та стійкі кроково-ітераційні обчислювальні алгоритми.
Анотація (рус): 
Развита общая теория смешанных схем метода конечных элементов для решения краевых задач термомеханики, в частности нелинейных задач, описывающих неизотермических процессы упругопластического деформирования по криволинейным траекториям малой кривизны. С применением аппарата функционального анализа исследована корректность смешанных проекционно-сеточных алгоритмов и на этой основе сформулированы условия, обеспечивающие устойчивость и сходимость смешанной аппроксимации для напряжений, деформаций и переме-щений. Установлено, что смешанный метод приводит к более точным расчётным распределениям напряжений и деформаций по сравнению с классическим методом перемещений. Построены специальные конечные элементы, обеспечивающие устойчивость и сходимость смешанной аппроксимации. Получена система разрешающих уравнений смешанного метода с учетом точного удовлетворения статическим граничным условиям на части поверхности тела, для решения которых предложены экономичные и устойчивые шагово-итерационные алгоритмы.
Анотація (англ): 
A general theory of mixed schemes of finite element method has been developed for the solution of thermo-mechanical boundary problems of inhomogeneous media, in particular nonlinear problems that describe the non-isothermal processes of elasto-plastic deformation using curved trajectories with small radius of curvature. Using the device for functional analysis the correctness of mixed projection-mesh algorithms is studied and based on it the conditions that provide stability and convergence of mixed approximation for stresses, strains and displacements have been laid down. It is found that the mixed method results in more accurate computational distribution of stresses and strains compared with the classical method of displacements. Special finite elements have been constructed, which ensure stability and convergence of the proposed mixed approximations. The sys-tem of equations for mixed method with consideration of specific fulfillment of static boundary conditions on the body surface has been obtained. The efficient and stable step-iteration computational algorithms have been proposed for the solution of this system.
Публікатор: 
Київський національний університет будівництва і архітектури
Назва журналу, номер, рік випуску (укр): 
Опір матеріалів і теорія споруд, 2015, номер 95
Назва журналу, номер, рік випуску (англ): 
Strength of Materials and Theory of Structures, 2015, issue 95
Мова статті: 
Українська
Права: 
Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License CC BY-NC-SA.
Формат документа: 
pdf
Документ: 
02-95_chirk.pdf
Дата публікації: 
01 December 2015
Номер збірника: 
95
Університет автора: 
Інститут проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України, Київ, Україна
Литература: 
  1. Brezzi F. On the existence uniqueness and approximation of saddle–point problems arising from Lagrangian multipliers // RAIRO. – 1974. – R.2 – P. 129 – 151.
  2. Babuska I. Error Bounds for Finite Element Method // Numer. Math. – 1971. – 16, № 3. – P. 322 – 333.
  3. Ворошко П.П. Формулировка вариационных принципов типа Рейсснера для классических задач термоупругости // Докл. АН УССР. – 1984. – № 3. – С. 31 – 33.
  4. Ворошко П.П. Смешанные вариационные формулировки задач теории упругости и их реализация методом конечных элементов // Пробл. прочности. – 1985. –  № 1. – С. 100 – 105.
  5. Сахаров А.С. Моментная схема конечных элементов (МСКЭ) с учётом жёстких смещений // Сопротивление материалов и теория сооружений. – 1974. – Вып. 24. – С. 147 – 156.
  6. Сахаров А.С., Альтенбах И. Метод конечных элементов в механике твердых тел. – К.: Вища школа, 1982. – 478 с.
  7. Уманский С.Э. Общая теория и практическое применение смягченно-смешанных схем метода конечных элементов // Пробл. прочности. – 1984. – № 12. – С. 83 – 89.
  8. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method. – Butterworth-Heinemann. – Oxford; Auckland; Boston; Johannesburg; Melbourne; New Delhi. – 5th ed., 2000. – Vol. 1 – 3. – 1482 p.
  9. Чирков А.Ю. Смешанная схема метода конечных элементов для решения краевых задач теории упругости и малых упругопластических деформаций. – К.: Ин–т пробл. прочности им. Г.С.Писаренко НАН Украины, 2003. – 250 с.
  10. Чирков А.Ю. Построение двухслойных схем интегрирования уравнений пластического течения в теории процессов деформирования по траектории малой кривизны // Пробл. прочности. – 2012. – № 6. – С. 93 – 124.
  11. Чирков А.Ю. Анализ краевых задач, описывающих неизотермические процессы упругопластического деформирования с учётом истории нагружения // Пробл. прочности. – 2006. – № 1. – С. 69 – 99.
  12. Чирков А.Ю. Некоторые приложения смешанного метода конечных элементов к решению задач механики деформируемого тела // Кибернетика и системный анализ. – 2012. – № 5. – С. 126–141.
  13. Чирков А.Ю. Смешанная проекционно-сеточная схема метода конечных элементов для решения краевых задач, описывающих неизотермические процессы упругопластического деформирования // Пробл. прочности. – 2007. – № 3. – С. 87 – 117.
  14. Чирков А.Ю. Построение смешанной аппроксимации к решению двухмерных задач теории упругости методом конечных элементов // Пробл. прочности. – 2003. – № 6. – С. 93 – 126.
  15. Чирков А.Ю., Кобельский С.В., Звягинцева А.А. Построение смешанной аппроксимации МКЭ для решения пространственных задач теории упругости // Надёжность и долговечность машин и сооружений. – 2008. – Вып. 31. – С. 195 – 207.
  16. Чирков А.Ю. Применение смешанной схемы метода конечных элементов к решению задач линейной механики разрушения // Вестник НТУУ «КПИ», Машиностроение. – 2007. – № 50. – С. 91 – 101.
  17. Чирков А. Ю. Расчетный анализ модельных задач теории трещин на основе смешанной схемы метода конечных элементов // Надёжность и долговечность машин и сооружений. – 2012. – Вып. 35. – С. 200 – 208.
References: 
  1. Brezzi F. On the existence uniqueness and approximation of saddle–point problems arising from Lagrangian multipliers // RAIRO. – 1974. – R.2 – P. 129 – 151.
  2. Babuska I. Error Bounds for Finite Element Method // Numer. Math. – 1971. – 16, № 3. – P. 322 – 333.
  3. Voroshko P.P. Formulirovka variatsionnyih printsipov tipa Reyssnera dlya klassicheskih zadach termouprugosti (Formulation of Reissner-type variational principles for classical problems of thermoelasticity) // Dokl. AN USSR. – 1984. – № 3. – S. 31 – 33.
  4. Voroshko P.P. Smeshannyie variatsionnyie formulirovki zadach teorii uprugosti i ih realizatsiya metodom konechnyih elementov (Mixed variational formulations of problems of the theory of elasticity and their realization of the finite-element method) // Probl. prochnosti. – 1985. – № 1. – S. 100 – 105.
  5. Saharov A.S. Momentnaya shema konechnyih elementov (MSKE) s uchyotom zhyostkih smescheniy (A moment finite-element scheme (MFES) that allows for rigid-body displacements) // Soprotivlenie materialov i teoriya sooruzheniy. – 1974. – Vyip. 24. – S. 147 – 156.
  6.  Saharov A.S., Altenbah I. Metod konechnyih elementov v mehanike tverdyih tel (Finite-Element Method in Mechanics of Solid Bodies). – K.: Vischa shkola, 1982. – 478 s.
  7.  Umanskiy S.E. Obschaya teoriya i prakticheskoe primenenie smyagchenno-smeshannyih shem metoda konechnyih elementov (General theory and practical application of modified-mixed schemes of the finite elements method) // Probl. prochnosti. – 1984. – № 12. – S. 83 – 89.
  8. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method. – Butterworth-Heinemann. – Oxford; Auckland; Boston; Johannesburg; Melbourne; New Delhi. – 5th ed., 2000. – Vol. 1 – 3. – 1482 p.
  9. Chirkov A.Yu. Smeshannaya shema metoda konechnyih elementov dlya resheniya kraevyih zadach teorii uprugosti i malyih uprugoplasticheskih deformatsiy (A Mixed Scheme of Finite-Element Method for Solving Boundary-Value Problems of Elasticity and Small Elastoplastic Strains). – K.: In–t probl. prochnosti im. G.S.Pisarenko NAN Ukrainyi, 2003. – 250 s.
  10. Chirkov A.Yu. Postroenie dvuhsloynyih shem integrirovaniya uravneniy plasticheskogo techeniya v teorii protsessov deformirovaniya po traektorii maloy kriviznyi (Construction of two-level integration schemes for the equations of plasticity in the theory of deformation along the paths of small curvature) // Probl. prochnosti. – 2012. – № 6. – S. 93 – 124.
  11. Chirkov A.Yu. Analiz kraevyih zadach, opisyivayuschih neizotermicheskie protsessyi uprugoplasticheskogo deformirovaniya s uchyotom istorii nagruzheniya (Analysis of boundary-value problems describing the non-isothermal processes of elastoplastic deformation taking into account the loading history) // Probl. prochnosti. – 2006. – № 1. – S. 69 – 99.
  12. Chirkov A.Yu. Nekotoryie prilozheniya smeshannogo metoda konechnyih elementov k resheniyu zadach mehaniki deformiruemogo tela (Some applications of the mixed finite-element method to the solution of problems in solid mechanics) // Kibernetika i sistemnyiy analiz. – 2012. – № 5. – S. 126 – 141.
  13. Chirkov A.Yu. Smeshannaya proektsionno-setochnaya shema metoda konechnyih elementov dlya resheniya kraevyih zadach, opisyivayuschih neizotermicheskie protsessyi uprugoplasticheskogo deformirovaniya (Mixed projection-mesh scheme of the finite-element method to solve boundary-value problems describing the non-isothermal processes of elastoplastic deformation) // Probl. prochnosti. – 2007. – № 3. – S. 87 – 117.
  14. Chirkov A.Yu. Postroenie smeshannoy approksimatsii k resheniyu dvuhmernyih zadach teorii uprugosti metodom konechnyih elementov (Mixed approximation scheme of the finite-element method for the solution of two-dimensional problems of the elasticity theory) // Probl. prochnosti. – 2003. – № 6. – S. 93 – 126.
  15. Chirkov A.Yu., Kobelskiy S.V., Zvyagintseva A.A. Postroenie smeshannoy approksimatsii MKE dlya resheniya prostranstvennyih zadach teorii uprugosti (Construction of mixed approximation of FEM for the solution of dimensional problems of elasticity theory) // Nadyozhnost i dolgovechnost mashin i sooruzheniy. – 2008. – Vyip. 31. – S. 195 – 207.
  16. Chirkov A.Yu. Primenenie smeshannoy shemyi metoda konechnyih elementov k resheniyu zadach lineynoy mehaniki razrusheniya (Application of mixed scheme of finite element method to the solution of problems of linear mechanics of fracture) // Vestnik NTUU «KPI», Mashinostroenie. – 2007. – № 50. – S. 91 – 101.
  17. Chirkov A.Yu. Raschetnyiy analiz modelnyih zadach teorii treschin na osnove smeshannoy shemyi metoda konechnyih elementov (Computational analysis of model problems of crack theory based on mixed scheme of finite element method) // Nadyozhnost i dolgovechnost mashin i sooruzheniy. – 2012. – Vyip. 35. – S. 200 – 208.