Аннотації
25.06.2018
Дана робота присвячена побудові ефективного алгоритму для розв’язування плоскої задачі теорії пружності для областей певної форми (прямокутник, що з одного із боків обрізаний деякою кривою ) на основі узагальненого методу прямих.
Даная работа посвящена построению эффективного алгоритма для решения плоской задачи теории упругости для областей определенной формы (прямоугольник, который с одной из сторон обрезан некоторой кривой ) на основе метода прямых.
Well known, that both the heat conduction equation and the equation for calculating the stress-strain states of most models are determined in three-dimensional space and related to complex problems of mathematical physics. For the simplest cases, analytical methods of solution have been proposed, but most tasks, especially dynamic, analytical methods cannot be solved. In our time, numerical methods (mainly the method of finite elements) or combined numerical-analytical methods are used for practical solving of complex problems of thermal conductivity and elasticity theory. One of the oldest combined methods for solving such problems is the direct method proposed by Kantorovich in the 1930s. The main idea of this method is the construction of multidimensional equations of mathematical physics by spatial coordinates up to one-dimensional. The problem in the spatial domain is continuous in one or two variables, and discrete by other variables. The method of lines divides the solution into two stages. The first step is to reduce the dimensionality of the original problem and move to a system of ordinary differential equations, which is further called reduced. The finite difference method was used to reduce the dimensionality of the original equations in the traditional version of the direct method. In the second stage the analytical or approximate analytical methods were used to solve the resulting system, but numerical methods were not used. In the generalized version of the method of lines for reducing the dimensionality of the original equations the projection method is used, and the reduced equations are solved by modern numerical methods. In our works [10] [11] a general algorithm for solving flat problems of the theory of thermal conductivity and elasticity theory for non-canonical forms based on the generalized method of lines is proposed. This paper is devoted to the construction of an effective algorithm for solving a plane problem of elasticity theory for regions of a definite form (a rectangle cut from one of the sides by some curve Г) based on a generalized method of lines.
1. Канторович А.В. Об одном методе приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных. // ДАН СССР 1934-с.21-342. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных дифференциальных уравнений. //Успехи математических наук.-1961.- Т.16 . -Вып 3.- С.171-1743. Слободянський М.Г. Способ приближенного интегрирования уравнений с частными производными и его применение к задачам теории упругости. // “Прикладная математика и механика”.1939. Т.3. Вып.1 С. 75-82.4. Винокуров Л.П Решение пространственной задачи теории упругости в перемещениях. // Бюллетень харьковского инженерно-строительного института. 1940г. №18.5. Шкелев Л.Т. Мороков Ю.А. Романова Т.А. Станкевич А.Н. Метод прямых и его использование при определении напряженного и деформированного состояния пластин и оболочек. // Киев. 2002. !77с.6. Корбач В.Г. Алгоритм численного решения многоточечных краевых задач механики деформированного твердого тела. Прочность конструкций летательных аппаратов. / Сборник научных трудов / В.Г Корбач Редколлегия: Львов М.П. и др.- Харьков: Харьковский авиационный институт, 1990. - С.88-95.7. Станкевич А.М. История и перспективы развития одного из методов решения многомерных задач строительной механики. // Вестник МГСУ. 2015г. №12 с.76-918. Станкевич А. М. Один варіант методу прямих в задачах динаміки товстих пластин / А. М. Станкевич, В. К. Чибіряков, Л. Т. Шкельов // Містобудування та територіальне планування. - 2010. - Вип. 38. - С. 399-407.9. Марчук Г.И. Введение в проекционно-сеточные методы. // Г.И. Марчук, В.И. Агошков М. Наука Главная редакция физико-математической литературы. 1981.- 416с.10. Чибіряков В.К Станкевич А.М Краснєєва А.О. Метод прямих у задачах стаціонарної теплопровідності для областей неканонічної форми // 2017 Київ КНУБА Містобудування та територіальне планування №63 С.462-47411. Чибіряков В.К. Станкевич А.М. Краснєєва А.О Шорін О.А. Узагальнений метод прямих в задах теорії пружності для областей складної форми. // 2017 Одеса Вісник державної академії будівництва та архітектури №67 С.71.
1. Kantorovich A.V. Ob odnom metode priblizhennogo reshenija differentsyalnyh uravnenij. (On a method of approximate solution of partial differential equations.)// DAN. SSSR 1934-s.21-342. Godunov S.K. O chislennom reshenii kraevyh zadach dlja linejnyh diferentsyalnyh uravnenij. (On the numerical solution of boundary value problems for systems of linear differential equations.) // Uspehi matematicheskih nauk.-1961.-T.16- Vyp 3- S. 171-1743. Slobodjanskij M.G. Sposob priblizhennogo integrirovaniya uravneniy s chastnymi proizvodnymi i yego primeniye k zadacham teorii uprugosti. (The method of approximate integration of partial differential equations and its application to the problems of elasticity theory.) // “ Prikladnaya matematika i mekhanika ”.1939. T.3. Vyp.1 S. 75-82.4. Vinokurov L.P Resheniye prostranstvennoy zadachi teorii uprugosti v peremeshcheniyakh. (The solution of the spatial problem of the theory of elasticity in displacements.) // Byulleten' khar'kovskogo inzhenerno-stroitel'nogo instituta. 1940g. №18.5. Shkelev L.T. Morokov Y.A. Romanova T.A. Stankevich A.N. Metod pryamykh i yego ispol'zovaniye pri opredelenii napryazhennogo i deformirovannogo sostoyaniya plastin i obolochek. (The method of lines and its use in determining the strained and deformed state of plates and shells.) // Kiyev. 2002. 177s.6. Korbach V.G. Algoritm chislennogo resheniya mnogotochechnykh krayevykh zadach mekhaniki deformirovannogo tverdogo tela. Prochnost' konstruktsiy letatel'nykh apparatov. (Algorithm for the numerical solution of multipoint boundary value problems for the mechanics of a deformed solid. Strength of aircraft structures.) // Sbornik nauchnykh trudov. V.G Korbach Redkollegiya: L'vov M.P. i dr.- Khar'kov: Khar'kovskiy aviatsionnyy institut, 1990.- S.88-957. Stankevich A.M. Istoriya i perspektivy razvitiya odnogo iz metodov resheniya mnogomernykh zadach stroitel'noy mekhaniki. (History and perspectives of development of one of the methods for solving multidimensional problems of structural mechanics.) // Vestnik MGSU. 2015g. №12- s.76-918. Stankevych A.M. Odyn variant metodu pryamykh v zadachakh dynamiky tovstykh plastyn (One variant of the method of direct in problems of dynamics of thick plates) / A.M. Stankevych, V.K. Chybiryakov, L.T. Shkel’ov // Mistobuduvannya ta terytorialʹne planuvannya. - 2010. - Vyp. 38. - S. 399-407.9. Marchuk G.I. Vvedeniye v proyektsionno-setochnyye metody. (Introduction to projection-grid methods.) // G.I. Marchuk, V.I. Agoshkov M. Nauka Glavnaya redaktsiya fiziko-matematicheskoy literatury. 1981.- 416s10. Chybiryakov V.K Stankevych A.M Krasnyeyeva A.O. Metod pryamykh u zadachakh statsionarnoyi teploprovidnosti dlya oblastey nekanonichnoyi formy. (The method of lines in the problems of stationary heat conductivity for areas of non-canonical form. ) // 2017 Kyyiv KNUBA Mistobuduvannya ta terytorialne planuvannya №63 S.462-47411. Chybiryakov V.K. Stankevych A.M. Krasnyeyeva A.O Shorin O.A. Uzahalʹnenyy metod pryamykh v zadakh teoriyi pruzhnosti dlya oblastey skladnoyi formy. (A generalized method of lines in the problems of the theory of elasticity for regions of complex form.) // 2017 Odesa Visnyk derzhavnoyi akademiyi budivnytstva ta arkhitektury №67 S.71