РУЙНУВАННЯ ІНВАРІАНТНОГО ТОРУ У ВІБРОУДАРНІЙ СИСТЕМІ - ШЛЯХ ДО КРИЗИ?

Заголовок (російською): 
Разрушение инвариантного тора в виброударной системе – путь к кризису?
Заголовок (англійською): 
INVARIANT TORUS BREAK-DOWN IN VIBROIMPACT SYSTEM – ROUTE TO CRISIS ?
Автор(и): 
Баженов В.А.
Погорелова О.С.
Постнікова Т.Г.
Автор(и) (англ): 
Bazhenov V.A.
Pogorelova O.S.
Postnikova T.G.
Ключові слова (укр): 
віброударна система, динамічна поведінка, квазіперіодичні, хаотичні, субгармоніки, відображення Пуанкаре, спектр Фур'є, показник Ляпунова, фрактальна структура
Ключові слова (рус): 
виброударная система, динамическое поведение, квазипериодические, хаотические, субгармоники, отображение Пуанкаре, спектр Фурье, показатель Ляпунова, фрактальная структура
Ключові слова (англ): 
vibroimpact system, dynamical behaviour, quasiperiodic, chaotic, subharmonics, Poincaré map, Fourier spectrum, Lyapunov exponent, fractal structure
Анотація (укр): 
Хаотичні коливання динамічних систем і сценарії їхнього переходу до хаосу одне з найбільш цікавих і досліджуваних питань в нелінійній динаміці. Зокрема, сценарії переходу до хаосу в негладких динамічних системах представляють особливий інтерес. У цій статті ми вивчаємо квазіперіодичний шлях до хаосу нелінійної негладкої розривної віброударної системи c двома ступнями вільності. Руйнування інваріантного тора, або замкнутої кривої, має місце саме при квазіперіодичному переході до хаосу. Це дорога до кризи? У вузькому діапазоні частот різні коливальні режими багаторазово змінювали один одного при дуже малій зміні ведучого параметра. Це були періодичні субгармонічні режими (стук), квазіперіодичні та хаотичні режими, зони передхаотичного та післяхаотичного руху. Ефекти гістерезису (явища перекидання) виникали при збільшенні і зменшенні частоти. Спостережуваний хаос був перехідним. Хаотичність отриманого режиму підтверджувалася типовим видом відображення Пуанкаре і Фур'є спектру, позитивним значенням старшого показника Ляпунова та фрактальною структурою відображення Пуанкаре. Ці дослідження підтверджують теорію Ньюхауза, Рюеля і Такенса, які запропонували новий біфуркаційний сценарій, коли періодичне рішення народжує тор, а потім дивний аттрактор.
Анотація (рус): 
Хаотические колебания динамических систем и сценарии их перехода к хаосу  один из наиболее интересных и исследуемых вопросов в нелинейной динамике. В частности, сценарии перехода к хаосу в негладких динамических системах представляют собой особый интерес. В этой статье мы изучаем квазипериодический путь к хаосу нелинейной негладкой разрывной виброударной системы c двумя степенями свободы. Разрушение инвариантного тора, или замкнутой кривой имеет место именно при квазипериодическом переходе к хаосу. Это дорога к кризису? В узком диапазоне частот различные колебательные режимы многократно сменяли друг друга при очень малом изменении управляющего параметра. Это были периодические субгармонические режимы (стук), квазипериодические и хаотические режимы, зоны предхаотического и послехаотического движения. Эффекты гистерезиса (явления переброса) возникали при увеличении и уменьшении частоты. Наблюдаемый хаос был переходным. Хаотичность полученного режима подтверждалась типичным видом отображения Пуанкаре и Фурье спектра, положительным значением старшего показателя Ляпунова и фрактальной структурой отображения Пуанкаре. Эти исследования подтверждают теорию Ньюхауза, Рюэля и Такенса, которые предложили новый бифуркационный сценарий, когда периодическое решение рождает тор, а затем странный аттрактор.
Анотація (англ): 
Chaotic vibrations of dynamical systems and their routes to chaos are interesting and investigated subjects in nonlinear dynamics. Particularly the routes to chaos in non-smooth dynamical systems are of the special scientists’ interest. In this paper we study quasiperiodic route to chaos in nonlinear non-smooth discontinuous 2-DOF vibroimpact system. The break-down of invariant torus or of the closed curve occurs just under the quasiperiodic route to chaos. Is it route to crisis? In narrow frequency range different oscillatory regimes have succeeded each other many times under very small control parameter varying. There were periodic subharmonic regimes − chatters, quasiperiodic, and chaotic regimes, the zones of prechaotic and postchaotic motion. The hysteresis effects (jump phenomena) occurred for increasing and decreasing frequencies. The observed chaos was the transient one.The chaoticity of obtained regime has been confirmed by typical views of Poincaré map and Fourier spectrum, by the positive value of the largest Lyapunov exponent, and by the fractal structure of Poincaré map. These investigations confirm the theory by Newhouse, Ruelle, and Takens who suggested a new bifurcation scenario where a periodic solution produces subsequently a torus and then a strange attractor.
Публікатор: 
Київський національний університет будівництва і архітектури
Назва журналу, номер, рік випуску (укр): 
Опір матеріалів і теорія споруд, 2018, номер 100
Назва журналу, номер, рік випуску (рус): 
Сопротивление материалов и теория сооружений, 2018, номер 100
Назва журналу, номер, рік випуску (англ): 
Strength of Materials and Theory of Structures, 2018, number 100
Мова статті: 
English
Формат документа: 
application/pdf
Документ: 
01-100_baz_pog_pos.pdf
Дата публікації: 
25 Июнь 2018
Номер збірника: 
100
Університет автора: 
Кyiv National University of Construction and Architecture, Kyiv Povitroflotsky ave., 31, Kyiv, 03680
Литература: 
1.        Moon F.C. Chaotic vibrations: an introduction for applied scientists and engineers. – New York: Wiley, 1987. – С. 219.2.        Thompson J.M.T., Thompson M., Stewart H.B. Nonlinear dynamics and chaos. – John Wiley & Sons, 2002.3.        Kuznetsov S.P. Dynamical chaos //Moscow: Fizmatlit.-2006.-356P. – 2001.4.        Schuster H.G. Deterministic Chaos. An Introduction 2nd Revised Edition. – 1988.5.        Luo A.C.J. Analytical routes to chaos in nonlinear engineering. – John Wiley & Sons, 2014.6.        Shvets A.Yu. Deterministic chaos. Textbook, Kyiv, NTUU "KPI", 2010. http://chaos.kpi.ua/images/stories/Posibnik-nor.pdf (in Ukrainian)7.        Volchenkov D., Leoncini X. (ed.). Regularity and Stochasticity of Nonlinear Dynamical Systems. – Springer International Publishing, 2018.8.        Volchenkov, D., "Survival under Uncertainty An Introduction to Probability Models of Social Structure and Evolution", Springer Series: Understanding Complex Systems, 240 pages, eBook ISBN 978-3-319-39421-3, ISBN 978-3-319-39419-0, Berlin / Heidelberg © 2016. http://www.springer.com/gp/book/97833193941909.        Grebogi C., Ott E., Yorke J.A. Crises, sudden changes in chaotic attractors, and transient chaos //Physica D: Nonlinear Phenomena. – 1983. – Т. 7. – №. 1-3. – С. 181-200.10.     Leine R.I., Van Campen D.H., Van de Vrande B.L. Bifurcations in nonlinear discontinuous systems //Nonlinear dynamics. – 2000. – Т. 23. – №. 2. – С. 105-164.11.     Kowalczyk P. et al. Two-parameter discontinuity-induced bifurcations of limit cycles: Classification and open problems //International Journal of Bifurcation and Chaos. – 2006. – Т. 16. – №. 03. – С. 601-629.12.     Manneville P., Pomeau Y. Different ways to turbulence in dissipative dynamical systems //Physica D: Nonlinear Phenomena. – 1980. – Т. 1. – №. 2. – С. 219-226.13.     Afraimovich V.S., Shilnikov L.P. Invariant two-dimensional tori, their breakdown and stochasticity //Amer. Math. Soc. Transl. – 1991. – Т. 149. – №. 2. – С. 201-212.14.     Shilnikov A.,  Shilnikov L.,  Turaev D. On Some Mathematical Topics in Classical Synchronization.: a Tutorial //International Journal of Bifurcation and Chaos. – 2004. – Т. 14. – №. 07. – С. 2143-2160.15.     Bakri T. Torus Breakdown and Chaos in a System of Coupled Oscillators //International Journal of Non-Linear Mechanics. – 2005.16.     Verhulst F. Torus break-down and bifurcations in coupled oscillators //Procedia IUTAM. – 2016. – Т. 19. – С. 5-10.17.     Komuro M. et al. Quasi-periodic bifurcations of higher-dimensional tori //International Journal of Bifurcation and Chaos. – 2016. – Т. 26. – №. 07. – С. 1630016.18.     Müller P. C. Calculation of Lyapunov exponents for dynamic systems with discontinuities //Chaos, Solitons & Fractals. – 1995. – Т. 5. – №. 9. – С. 1671-1681.19.     Stefanski A., Dabrowski A., Kapitaniak T. Evaluation of the largest Lyapunov exponent in dynamical systems with time delay //Chaos, Solitons & Fractals. – 2005. – Т. 23. – №. 5. – С. 1651-1659.20.     Andreaus U., Placidi L., Rega G. Numerical simulation of the soft contact dynamics of an impacting bilinear oscillator //Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. – 2010. – Т. 15. – №. 9. – С. 2603-2616.21.     Bazhenov V.A., Pogorelova O.S., Postnikova T.G. Stability and Discontinious Bifurcations in Vibroimpact System: Numerical investigations. LAP LAMBERT Academic Publ. GmbH and Co. KG Dudweiler, Germany. 2017.22.     Bazhenov V.A. et al. Stability and bifurcations analysis for 2-DOF vibroimpact system by parameter continuation method. Part I: loading curve //Journal of Applied Nonlinear Dynamics. – 2015. – Т. 4. – №. 4. – С. 357-370.23.     Bazhenov V.A. et al. Numerical Bifurcation Analysis of Discontinuous 2-DOF Vibroimpact System. Part 2: Frequency-Amplitude response //Journal of Applied Nonlinear Dynamics.–2016. – 2016.24.     Lamarque C.H., Janin O. Modal analysis of mechanical systems with impact non-linearities: limitations to a modal superposition //Journal of Sound and Vibration. – 2000. – Т. 235. – С. 567-609.25.     Shvets A.Y., Sirenko V.O. Peculiarities of transition to chaos in nonideal hydrodynamics systems //Chaotic Modeling and Simulation.—2012.—2.—P. – 2012. – С. 303-310.26.     Murguía J.S. et al. Wavelet characterization of hyper-chaotic time series //Revista Mexicana de Física. – 2018. – Т. 64. – №. 3. – С. 283-290.27.     Rubežić V., Djurović I., Sejdić E. Average wavelet coefficient-based detection of chaos in oscillatory circuits //COMPEL-The international journal for computation and mathematics in electrical and electronic engineering. – 2017. – Т. 36. – №. 1. – С. 188-201.28.     Bazhenov, V.A., Pogorelova, O.S., & Postnikova, T.G. Lyapunov exponents estimation for strongly nonlinear nonsmooth discontinuous vibroimpact system. Strength of Materials and Theory of Structures, 2018, 99. (in press).29.     Lai Y.C., Tél T. Transient chaos: complex dynamics on finite time scales. – Springer Science & Business Media, 2011. – Т. 173.30.     Afraimovich V.S., Neiman A.B. Weak transient chaos //Advances in Dynamics, Patterns, Cognition. – Springer, Cham, 2017. – С. 3-12.
References: 
1.        Moon F.C. Chaotic vibrations: an introduction for applied scientists and engineers. – New York: Wiley, 1987. – С. 219.2.        Thompson J.M.T., Thompson M., Stewart H.B. Nonlinear dynamics and chaos. – John Wiley & Sons, 2002.3.        Kuznetsov S.P. Dynamical chaos //Moscow: Fizmatlit.-2006.-356P. – 2001.4.        Schuster H.G. Deterministic Chaos. An Introduction 2nd Revised Edition. – 1988.5.        Luo A.C.J. Analytical routes to chaos in nonlinear engineering. – John Wiley & Sons, 2014.6.        Shvets A.Yu. Deterministic chaos. Textbook, Kyiv, NTUU "KPI", 2010. http://chaos.kpi.ua/images/stories/Posibnik-nor.pdf (in Ukrainian)7.        Volchenkov D., Leoncini X. (ed.). Regularity and Stochasticity of Nonlinear Dynamical Systems. – Springer International Publishing, 2018.8.        Volchenkov, D., "Survival under Uncertainty An Introduction to Probability Models of Social Structure and Evolution", Springer Series: Understanding Complex Systems, 240 pages, eBook ISBN 978-3-319-39421-3, ISBN 978-3-319-39419-0, Berlin / Heidelberg © 2016. http://www.springer.com/gp/book/97833193941909.        Grebogi C., Ott E., Yorke J.A. Crises, sudden changes in chaotic attractors, and transient chaos //Physica D: Nonlinear Phenomena. – 1983. – Т. 7. – №. 1-3. – С. 181-200.10.     Leine R.I., Van Campen D.H., Van de Vrande B.L. Bifurcations in nonlinear discontinuous systems //Nonlinear dynamics. – 2000. – Т. 23. – №. 2. – С. 105-164.11.     Kowalczyk P. et al. Two-parameter discontinuity-induced bifurcations of limit cycles: Classification and open problems //International Journal of Bifurcation and Chaos. – 2006. – Т. 16. – №. 03. – С. 601-629.12.     Manneville P., Pomeau Y. Different ways to turbulence in dissipative dynamical systems //Physica D: Nonlinear Phenomena. – 1980. – Т. 1. – №. 2. – С. 219-226.13.     Afraimovich V.S., Shilnikov L.P. Invariant two-dimensional tori, their breakdown and stochasticity //Amer. Math. Soc. Transl. – 1991. – Т. 149. – №. 2. – С. 201-212.14.     Shilnikov A.,  Shilnikov L.,  Turaev D. On Some Mathematical Topics in Classical Synchronization.: a Tutorial //International Journal of Bifurcation and Chaos. – 2004. – Т. 14. – №. 07. – С. 2143-2160.15.     Bakri T. Torus Breakdown and Chaos in a System of Coupled Oscillators //International Journal of Non-Linear Mechanics. – 2005.16.     Verhulst F. Torus break-down and bifurcations in coupled oscillators //Procedia IUTAM. – 2016. – Т. 19. – С. 5-10.17.     Komuro M. et al. Quasi-periodic bifurcations of higher-dimensional tori //International Journal of Bifurcation and Chaos. – 2016. – Т. 26. – №. 07. – С. 1630016.18.     Müller P. C. Calculation of Lyapunov exponents for dynamic systems with discontinuities //Chaos, Solitons & Fractals. – 1995. – Т. 5. – №. 9. – С. 1671-1681.19.     Stefanski A., Dabrowski A., Kapitaniak T. Evaluation of the largest Lyapunov exponent in dynamical systems with time delay //Chaos, Solitons & Fractals. – 2005. – Т. 23. – №. 5. – С. 1651-1659.20.     Andreaus U., Placidi L., Rega G. Numerical simulation of the soft contact dynamics of an impacting bilinear oscillator //Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. – 2010. – Т. 15. – №. 9. – С. 2603-2616.21.     Bazhenov V.A., Pogorelova O.S., Postnikova T.G. Stability and Discontinious Bifurcations in Vibroimpact System: Numerical investigations. LAP LAMBERT Academic Publ. GmbH and Co. KG Dudweiler, Germany. 2017.22.     Bazhenov V.A. et al. Stability and bifurcations analysis for 2-DOF vibroimpact system by parameter continuation method. Part I: loading curve //Journal of Applied Nonlinear Dynamics. – 2015. – Т. 4. – №. 4. – С. 357-370.23.     Bazhenov V.A. et al. Numerical Bifurcation Analysis of Discontinuous 2-DOF Vibroimpact System. Part 2: Frequency-Amplitude response //Journal of Applied Nonlinear Dynamics.–2016. – 2016.24.     Lamarque C.H., Janin O. Modal analysis of mechanical systems with impact non-linearities: limitations to a modal superposition //Journal of Sound and Vibration. – 2000. – Т. 235. – С. 567-609.25.     Shvets A.Y., Sirenko V.O. Peculiarities of transition to chaos in nonideal hydrodynamics systems //Chaotic Modeling and Simulation.—2012.—2.—P. – 2012. – С. 303-310.26.     Murguía J.S. et al. Wavelet characterization of hyper-chaotic time series //Revista Mexicana de Física. – 2018. – Т. 64. – №. 3. – С. 283-290.27.     Rubežić V., Djurović I., Sejdić E. Average wavelet coefficient-based detection of chaos in oscillatory circuits //COMPEL-The international journal for computation and mathematics in electrical and electronic engineering. – 2017. – Т. 36. – №. 1. – С. 188-201.28.     Bazhenov, V.A., Pogorelova, O.S., & Postnikova, T.G. Lyapunov exponents estimation for strongly nonlinear nonsmooth discontinuous vibroimpact system. Strength of Materials and Theory of Structures, 2018, 99. (in press).29.     Lai Y.C., Tél T. Transient chaos: complex dynamics on finite time scales. – Springer Science & Business Media, 2011. – Т. 173.30.     Afraimovich V.S., Neiman A.B. Weak transient chaos //Advances in Dynamics, Patterns, Cognition. – Springer, Cham, 2017. – С. 3-12.