An improved gradient-based method to solve parametric optimisation problems of the bar structures

Заголовок (російською): 
Улучшенный градиентный метод для решения задач параметрической оптимизации стержневых конструкций
Заголовок (англійською): 
An improved gradient-based method to solve parametric optimisation problems of the bar structures
Автор(и): 
Peleshko I. D.
Yurchenko V. V.
Автор(и) (англ): 
Peleshko I. D.
Yurchenko V. V.
Ключові слова (укр): 
параметрична оптимізація, задача нелінійного програмування, градієнтний метод, стержнева система, метод скінчених елементів
Ключові слова (рус): 
стержневая конструкция, параметрическая оптимизация, нелинейное программирование, градиентный метод, метод конечных элементов
Ключові слова (англ): 
bar system, parametric optimisation, non-linear programming task, gradient-based method, finite-element method
Анотація (укр): 
У статті розглядаються задачі параметричної оптимізації стержневих конструкцій, які формулюються в термінах задачі нелінійного програмування. Для розв’язку задач параметричної оптимізації використовується метод проекції градієнта функції мети на поверхню активних обмежень з одночасною ліквідацією нев’язок в обмеженнях. У статті запропоновані еквівалентні перетворення Хаусхолдера для розв’язувальних рівнянь розглядуваного методу оптимізації, які підвищують обчислювальну ефективність алгоритму, розробленого на основі градієнтного методу. Окрім того запропоновані еквівалентні перетворення Гівенса для розв’язувальних рівнянь розглядуваного методу, які для визначених випадків, обумовлених у статті, пришвидшують ітераційний процес пошуку оптимального розв’язку внаслідок скорочення обсягу обчислень. Порівняння результатів оптимізаціних розрахунків стержневих систем, представлене у статті, підтверджує достовірність оптимальних розв’язків, отриманих з використанням запропонованої модифікації градієнтного методу.
Анотація (рус): 
В статье рассматриваются задачи параметрической оптимизации стержневых конструкций, формулируемые в терминах задачи нелинейного программирования. Объектом исследования выступает метод, базирующийся на вычислении градиентов функции цели и ограничений, а задачей исследования служит разработка математического и алгоритмического обеспечения для решения задач параметрической оптимизации конструкций при ориентации на программную реализацию в системе автоматизированного проектирования. Для решения задач параметрической оптимизации используется метод проекции градиента функции цели на поверхность активных ограничений с одновременной ликвидацией невязок в ограничениях. В статье предложены эквивалентные преобразования Хаусхолдера для разрешающих уравнений рассматриваемого метода оптимизации, повышающие численную эффективность алгоритма, разработанного на основе градиентного метода. Кроме того, предложены эквивалентные преобразования Гивенса для разрешающих уравнений рассматриваемого метода, обеспечивающие в определенных случаях, оговоренных в статье, ускорение итерационного процесса поиска оптимального решения вследствие уменьшения объема вычислений. Длины векторов градиентов функции цели и ограничений математической модели остаются неизменными при предложенных эквивалентных преобразованиях, что обеспечивает надежность оптимизационного алгоритма. Сравнение результатов оптимизационных расчетов стержневых систем, представленных в статье, подверждает достоверность оптимальных решений, полученных с использование предложенного улучшения градиентного метода. Эффективность предложенного улучшения рассматриваемого метода оптимизации также подтверждается количеством итераций и абсолютнім значением максимальной невязки в ограничениях.
Анотація (англ): 
The paper considers parametric optimisation problems for the bar structures formulated as non-linear programming tasks. In the paper a gradient-based method is considered as investigated object. The main research question is the development of mathematical support and numerical algorithm to solve parametric optimisation problems of the building structures with orientation on software implementation in a computer-aided design system. The method of the objective function gradient projection onto the active constraints surface with simultaneous correction of the constraints violations has been used to solve the parametric optimisation problem. Equivalent Householder transformations of the resolving equations of the method have been proposed by the paper. They increase numerical efficiency of the algorithm developed based on the method under consideration. Additionally, proposed improvement for the gradient-based method also consists of equivalent Givens transformations of the resolving equations. They ensure acceleration of the iterative searching process in the specified cases described by the paper due to decreasing the amount of calculations. Lengths of the gradient vectors for objective function, as well as for constraints remain as they were in scope of the proposed equivalent transformations ensuring the reliability of the optimisation algorithm. The comparison of the optimisation results of truss structures presented by the paper confirms the validity of the optimum solutions obtained using proposed improvement of the gradient-based method. Start values of the design variables have no influence on the optimum solution of the non-linear problem confirming in such way accuracy and validity of the optimum solutions obtained using the algorithm developed based on the presented improved gradient-based method. The efficiency of the propoced improvement of the gradient-based method has been also confirmed taking into account the number of iterations and absolute value of the maximum violation in the constraints.
Публікатор: 
Київський національний університет будівництва і архітектури
Назва журналу, номер, рік випуску (укр): 
Опір матеріалів і теорія споруд, 2020, номер 104
Назва журналу, номер, рік випуску (рус): 
Сопротивление материалов и теория сооружений, 2020, номер 104
Назва журналу, номер, рік випуску (англ): 
Strength of Materials and Theory of Structures, 2020, number 104
Мова статті: 
English
Формат документа: 
application/pdf
Документ: 
14-104_peleshko_yurchenko_new.pdf
Дата публікації: 
04 Июнь 2020
Номер збірника: 
104
Університет автора: 
Lviv Polytechnic National University St. Bandery, 12, Lviv, 79013; Kyiv National University of Construction and Architecture Povitroflotskyj av., 31, Kyiv, 03680
References: 
  1. Bindel D., Demel J., Kahan W., Marques O. On computing Givens rotations reliably and efficiently. LAPACK Working Note 148. – University of Tennessee, UT-CS-00-449. – 2001.
  2. Crowder N. P., Denbo R. S., Mulvey J. M. Reporting computational experiments in mathematical programming // Mathematical Programming. – Vol. 15, 1978. – p. 316–329.
  3. Dobbs M. W., Nelson R. B. Application of optimality criteria to automated structural design // AIAA Journal. – Vol. 14(10), 1976. – p. 1436–1443.
  4. Golub G. H., Van Loan, Charles F. Matrix Computations. – Johns Hopkins, 1996.
  5. Guljaev V. I., Bazhenov V. A., Koshkin V. L. Optimisation methods in structural mechanic. – Kyiv, 1988. – 192 p. (rus)
  6. Haug E. J., Arora J. S. Applied optimal design: mechanical and structural systems. – John Wiley & Sons, 1979. – 520 p.
  7. Huebner K. H., Dewhirst D. L., Smith D. E., Byrom T. G. The finite element method for engineers (4th ed.) – John Wiley & Sons, Inc. 2001. – 744 p.
  8. Kuci E., Henrotte F., Duysinx P., Geuzaine C. Design sensitivity analysis for shape optimization based on the Lie derivative // Computer methods in applied mechanics and engineering. – Vol. 317, 2017. – p. 702–722. https://doi.org/10.1016/j.cma.2016.12.036
  9. Peleshko I., Yurchenko V. An optimum structural computer-aided design using update gradient method // Proceedings of the 8th International Conference “Modern Building Materials, Structures and Techniques”. – Faculty of Civil Engineering, Vilnius Gediminas Technical University, 2004. – p. 860 – 865.
  10. Permyakov V. O., Yurchenko V. V., Peleshko I. D. An optimum structural computer-aided design using hybrid genetic algorithm // Proceeding of the International Conference “Progress in Steel, Composite and Aluminium Structures”. – Taylor & Francis Group, London, 2006. – p. 819–826.
  11. Perelmuter A., Yurchenko V. Parametric optimization of steel shell towers of high-power wind turbines // Procedia Engineering. – No. 57, 2013. – p. 895 – 905. DOI: https://doi.org/10.1016/ j.proeng.2013.04.114.
  12. Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. T., Flannery B. P. Givens method. Numerical recipes: the art of scientific computing. – New York: Cambridge University Press. – 2007.
  13. Reklaitis G. V., Ravindran A., Ragsdell K. M. Engineering optimization. Methods and applications. – Wiley, 2006. – 688 p.
  14. Rizzi P. The optimization of structures with complex constraints via a general optimality criteria method. Ph. D. thesis. – Stanford University, Palo Alto, CA, 1976.
  15. Schmit L. A. (Jr.), et al. Structural synthesis. Vol. 1. Summer course notes. – Case institute of technology, 1965.
  16. Schmit L. A. (Jr.), Miura H. A. New structural analysis. Synthesis capability. ACCESS 1 // AIAA Journal. – Vol. 14(5), 1976. – p. 661–671.
  17. Yurchenko V., Peleshko I., Beliaev N. Parametric optimization of steel truss with hollow structural members based on update gradient method // Proceedings of International Conference “Design, Fabrication and Economy of Metal Structures”. – Springer Berlin Heidelberg, 2013. – p. 103–109. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-36691-8_16
  18. Wilkinson J. H., Reinsch C. Handbook for Automatic Computation. Volume II: Linear Algebra. – Heidelberg New York Springer-Verlag Berlin, 1971. – 441 p. DOI: https://doi.org/10.1137/1014116