ЩОДО ОПТИМАЛЬНОЇ ТОПОЛОГІЇ ПІДПІРНОЇ СТІНКИ

Заголовок (англійською): 
OPTIMAL TOPOLOGY OF RETAINING WALL
Автор(и): 
Є.А. Єгоров
О.Є. Кучеренко
Автор(и) (англ): 
Yegorov Y.
Kucherenko O.
Ключові слова (укр): 
підпірна стінка, топологія, оптимізація, дискретизація, фільтр, еволюційна структурна оптимізація, метод SIMP
Ключові слова (англ): 
retaining wall, topology, optimization, discretization, filter, evolutionary structural optimization, SIMP method
Анотація (укр): 
Розглядається задача визначення оптимальної топології перерізу підпірної стінки, для розв’язання якої застосовується метод топологічної оптимізації SIMP. При цьому ізотропне тверде тіло розбивається на n чотирикутних скінчених елементів, і кожному такому елементу e ставиться у відповідність проектна змінна xe, яку можна розуміти як густину матеріалу. Вводиться поняття віртуального модуля Юнга, який для кожного елемента апроксимується так: , де p – штраф, який зазвичай дорівнює 3; Emin – мале значення модуля, яке вводиться з тим, щоб уникнути сингулярності матриці жорсткості; E0 – модуль Юнга матеріалу. При виконанні умови 0 ≤ xep ≤ 1 Ee варіюється між певним мінімальним значенням Emin і звичайним модулем Юнга E0. Для демонстрації роботи алгоритму розглядається підпірна стінка із суцільним перерізом у вигляді прямокутника з відношенням висоти до основи рівним 3:1. По всій своїй висоті вона знаходиться під тиском ґрунту, який змінюється лінійно від 0 до 1, що в цілому відповідає гідростатичному тиску. З позиції теорії пружності така задача може розглядатися як плоска. Проблема пошуку оптимальної топології зводиться до розв’язання задачі математичного програмування при виконанні певних умов (тут F – вектор зовнішніх сил, u(x) – вектор переміщень, x – вектор, елементи якого знаходяться в межах [0, 1]). Цільову функцію можна інтерпретувати як роботу зовнішніх сил з деформації системи, тобто розв’язування задачі полягає в пошуку максимально жорсткого тіла певного об’єму. Для розв‘язування оптимізаційної задачі було створено застосунок на мові Python 3.7 з використанням бібліотек Numpy та Scipy. Для усунення проблеми «шахової дошки» (чергування чорних та білих клітин) застосовувався фільтр Гауса з пакету Skimage. Параметри отриманої моделі описано на мові APDL та експортовано у систему скінченного-елементного аналізу Ansys Mechanical для подальшого аналізу. Визначено, що при долі збереженого об’єму, що дорівнює 60%, максимальні напруження за фон Мізесом в структурі з оптимальною топологією не перевищують цей показник в підпірній стінці з прямокутним перерізом.
Анотація (англ): 
This paper intends to present an approach to the problem of the optimal cross-section topology of a retaining wall. We use the Solid Isotropic Material with Penalization (SIMP) method to solve this problem. An isotropic solid is divided into n quadrilateral finite elements, and each such element e is associated with a design variable xe which might be regarded as a material density. The notion of a virtual Young's modulus is introduced, and for each element it can be approximated as follows: , where p is a penalty, which is usually equal to 3; Emin is a small value of the modulus, which we use in order to avoid the singularity of a stiffness matrix; E0 is the Young's modulus of the material. Thus when the condition 0 ≤ xep ≤ 1 is satisfied Ee varies between a certain minimum value Emin and the usual Young's modulus E0. We regard a retaining wall with a solid cross-section in the form of a rectangle with a height to base ratio of 3:1 to demonstrate the proposed approach. Along its entire height the wall is under the pressure of soil, which varies linearly from 0 to 1. In general, this corresponds to hydrostatic pressure. From the standpoint of the theory of elasticity such a problem can be considered as planar. The problem of the optimal topology shrinks to the mathematical programming problem in the form of under certain conditions (here F is a vector of external forces, u(x) is a vector of displacements, x is a vector of densities). The objective function can be interpreted as the work done by external forces to deform the system, thus we tend to find the stiffest body of a certain volume. To solve mathematical programming problem we use Python programming language, and Numpy and Scipy packages. To eliminate the “checkerboard problem” (alternation of black and white cells) we apply a Gaussian filter from the Skimage package. The parameters of the obtained model are described in ANSYS Parametric Design Language and exported to Ansys Mechanical for further analysis. It is determined that the maximum von Mises stress in the structure with the optimal topology and the prescribed volume fraction of 60% does not exceed this value in the retaining wall with a base rectangular cross section.
Публікатор: 
Київський національний університет будівництва і архітектури
Назва журналу, номер, рік випуску (укр): 
Опір матеріалів і теорія споруд, 2022, номер 108
Назва журналу, номер, рік випуску (англ): 
Strength of Materials and Theory of Structures, 2022, number 108
Мова статті: 
Українська
Формат документа: 
application/pdf
Документ: 
28-108_iegorov_ie.a._kucherenko_o.ie_.pdf
Дата публікації: 
05 Июль 2022
Номер збірника: 
108
Університет автора: 
Придніпровська державна академія будівництва та архітектури, Дніпро
Литература: 
  1. Єгоров Є.А., Кучеренко О.Є. Нелінійна оптимізація топології просторових стержневих систем // Опір матеріалів і теорія споруд: наук.-тех. збірн. – К.: КНУБА, 2018. – Вип. 100. – С. 105-114.
  2. Безухов Н.И. Подпорные стенки. – М.: Гос. изд-во, 1931. – 95 с.
  3. Pan Y., Zhang Y., Zhang D. 3D printing in construction: state of the art and applications. – Int J Adv Manuf Technol. – 2021. – Vol. 115. – P. 1329-1348.
  4. Huang X., Xie Y. A further review of ESO type methods for topology optimization.– Struct Multidisc Optim. – 2010. – Vol. 41. – P. 671–683.
  5. Xie Y., Steven G. Evolutionary structural optimization for dynamic problems. – Comput Struct. – 1996. –  Vol. 58. – No. 6. – P. 1067–1073.
  6. Xia L., Xia Q., Huang X. Bi-directional Evolutionary Structural Optimization on Advanced Structures and Materials: A Comprehensive Review. – Arch Computat Methods Eng. – 2018 – Vol. 25. – P. 437–478.
  7. Bendsøe M.P. Optimal shape design as a material distribution problem. – Structural Optimization. – 1989. – Vol. 1. – No. 4. – P. 193–202.
  8. Andreassen E., Clausen A., Schevenels M. Efficient topology optimization in MATLAB using 88 lines of code. –  Struct Multidisc Optim. – 2011. – Vol. 43. – P. 1–16.
  9. Кац А.М. Теория упругости. – СПб.: Издательство «Лань», 2002. – 208 с.
  10. Harris C.R., Millman K.J., van der Walt S.J. Array programming with NumPy. – Nature.  – 2020. – Vol. 585. – P. 357–362.
  11. Virtanen P., Gommers R., Oliphant T.E. SciPy 1.0: Fundamental Algorithms for Scientific Computing in Python. – Nature Methods.  – 2020. – Vol. 17. – P. 261–272.
  12. Lazarov B.S., Sigmund O. Filters in topology optimization based on Helmholtz-type differential equations. – International Journal for Numerical Methods in Engineering. – 2011. – Vol. 86. – P. 765–781.
  
References: 
  1. Egorov E.A., Kucherenko A.E. Nonlinear topology optimization of space truss-like structures // Strength of Materials and Theory of Structures: Scientific-and-technical collected articles – Kyiv: KNUBA, 2018. – Issue 100. – P. 105-114.
  2. Bezuhov N.I. Podpornye stenki. Moscow: Gos. izd-vo, 1931, 95 pp.
  3. Pan Y., Zhang Y., Zhang D. 3D printing in construction: state of the art and applications. – Int J Adv Manuf Technol. – 2021. – Vol. 115. – P. 1329-1348.
  4. Huang X., Xie Y. A further review of ESO type methods for topology optimization.– Struct Multidisc Optim. – 2010. – Vol. 41. – P. 671–683.
  5. Xie Y., Steven G. Evolutionary structural optimization for dynamic problems. – Comput Struct. – 1996. –  Vol. 58. – No. 6. – P. 1067–1073.
  6. Xia L., Xia Q., Huang X. Bi-directional Evolutionary Structural Optimization on Advanced Structures and Materials: A Comprehensive Review. – Arch Computat Methods Eng. – 2018 – Vol. 25. – P. 437–478.
  7. Bendsøe M.P. Optimal shape design as a material distribution problem. – Structural Optimization. – 1989. – Vol. 1. – No. 4. – P. 193–202.
  8. Andreassen E., Clausen A., Schevenels M. Efficient topology optimization in MATLAB using 88 lines of code. –  Struct Multidisc Optim. – 2011. – Vol. 43. – P. 1–16.
  9. Kats A.M. Teoriya uprugosti. Saint Petersburg: Izdatelstvo “Lan”, 2002, 208 pp.
  10. Harris C.R., Millman K.J., van der Walt S.J. Array programming with NumPy. – Nature.  – 2020. – Vol. 585. – P. 357–362.
  11. Virtanen P., Gommers R., Oliphant T.E. SciPy 1.0: Fundamental Algorithms for Scientific Computing in Python. – Nature Methods.  – 2020. – Vol. 17. – P. 261–272.
  12. Lazarov B.S., Sigmund O. Filters in topology optimization based on Helmholtz-type differential equations. – International Journal for Numerical Methods in Engineering. – 2011. – Vol. 86. – P. 765–781.